Sandsynligheder

Vi skal nu tage hul på en helt central del af kvantemekanikken og samtidig noget af det, der gennem tiden har vagt mest ubehag omkring det verdensbillede teorien præsenterer os for: naturen er drevet af sandsynligheder, og vi har ikke en jordisk chance for at forudsige, hvordan hver enkelt fysisk proces vil falde ud, kun hvad sandsynlighederen for de mulige udfald vil være. Man siger derfor, at kvantemekanikken er en probabilistisk teori. Vi har allerede nævnt det tidligere og der er også blevet lagt et par brødkrummer ud her og der, men nu er det blevet tid til at se nærmere på, hvor sandsynlighederne gemmer sig i teorien og hvordan de kommer til udtryk når vi analyserer konkrete systemer.

Bølgefunktioner og Schrödingers ligning

I afsnittet Kvantetilstande så vi, at et systems tilstand beskrives ved en tilstandsvektor $|\psi\rangle$, som “lever” i et særligt vektorrum. Det vektorrum kan fastlægges ud fra mange forskellige sæt af retninger (basisvektorer), og en mulighed er bare at bruge de sædvanlige rumlige retninger, $x$, $y$ og $z$ – dem vi bruger til at beskrive alle tings positioner med. Gør vi det, så bliver tilstandsvektoren lavet om til en funktionsom så beskriver systemets tilstand som funktion af dets position, f.eks langs $x$-aksen. Den funktion kaldes for bølgefunktionen, og skrives $\psi (x,t)$. Generelt afhænger tilstanden også af tiden (tænk på eksemplet med pendulet der svinger op og ned) og derfor er der også en variabel $t$. At man kalder det en bølgefunktion skyldes, at den opfylder en særlig ligning, som netop beskriver bølgeudbredelse. Den ligning blev første gang opskrevet af den østrigske fysiker Erwin Schrödinger, og derfor kaldes den også for Schrödingers ligning:
\begin{equation}
i\hbar \frac{d \psi (x, t)}{d t} = \hat{H} \psi (x, t) = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{d x^2}\psi (x, t) + V(x)\psi (x, t)
\end{equation}

Det nye symbol $\hat{H}$ kaldes for Hamilton-operatoren, og den beskriver systemets totale energi. $V(x)$ er den potentielle energi. Hvis man kender det “energilandskab” systemet befinder sig i, kan man finde alle de tilstande der er mulige for systemet ved at udregne, hvilke bølgefunktioner der er løsninger til Schrödingers ligning. Bølgefunktionerne afhænger som nævnt af tiden og beskriver altså bølger der bevæger sig, f.eks. som de ringbølger der kommer, når man kaster sten i vandet. Men måske kender du også eksperimentet med bølger på en streng og kan huske, hvordan der ved særlige frekvenser opstår stående bølger på strengen – bølger der deformerer strengen men ikke flytter sig. De er stationære. På samme måde findes der også løsninger til Schrödingers ligning, som ikke afhænger af tiden. Man siger, at de bølgefunktioner svarer til stationære tilstande.Vi er faktisk allerede stødt på den type tilstande … det er netop sådanne stationære energitilstande for et atom som Niels Bohr postulerede i sine kvantehypoteser. De mulige kvantetilstande for en elektron omkring en atomkerne kan altså ses som en slags stående bølger. Men bølger af hvad? Det er 1.000.000\$ spørgsmålet. Vandbølger er deformationer i tætheden af vandmolekyler, som bevæger sig igennem vandet, lydbølger er deformationer af tætheden af molekyler i luften, der udbreder sig langs med lydens bevægelsesretning og bølger på en streng er periodiske deformationer af strengen vinkelret på strengen. Hvad er $\psi (x,t)$? 

Bølgefunktionen $\psi (x,t)$ er en sandsynlighedstæthed. Sandsynligheden for at finde partiklen i et lille interval $\Delta x$ omkring positionen $x$ til tiden $t$ er givet ved $P(x) = |\psi (x,t)|^2 \Delta x$.

Hvis vi nu ser tilbage på Bohrs atommodel, så ved vi altså, at de stationære energitilstande som elektronerne kan være i ikke skal forstås som baner i klassisk forstand, sådan som vi normalt tegner det. Tilstandene er stationære sandsynlighedsamplituder og repræsenterer områder, hvor der er størst sandsynlighed for at finde elektronen, hvis man måler på den. Inden målingen fastlægger hvor den er, er elektronen en bølge af sandsynlighedstæthed koncentreret omkring den stationære tilstand. Den er delokaliseret og dermed over det hele på en gang. Målingen kollapser sandsynlighedstætheden ned til et specifikt område og dermed lokaliseres elektronen.

Elektronerne bevæger sig altså ikke i faste baner omkring atomkernen. Et bedre billede at have i hovedet er at forestille sig elektronen som en sky omkring atomkernen – en sky af sandsynlighed.

Afhængig af hvilken tilstand elektronen er i, har skyen forskellige form, svarende til forskellige fordelinger af sandsynligheden. De forskellige sandsynlighedsfordelinger kaldes orbitaler.

Middelværdier

Lad os hoppe tilbage ned i vektorrummet og igen beskrive kvantetilstande med tilstandsvektorer i stedet for bølgefunktioner. Da vi lærte om observable og målinger fandt vi ud af, at observable beskrives ved operatorer og at  de mulige resultater af en måling er operatorens egenværdierne. Uden at gå alt for meget i detalje med det, så er det en vigtig detalje, at egenvektorernefor enhver operator faktisk kan bruges som basis for det vektorrum den hører til. Som vi var inde på, da vi talte om kvantetilstande, så betyder det, at alle vektorer i tilstandsrummet kan skrives ved hjælpe af egenvektorerne for en operator. Man kan altså skrive et systems tilstand som en sum af netop de egenvektorer systemet kan blive kollapset ned i, hvis man laver en måling af den pågældende observabel.

Lad os sige, at vi har et system i tilstanden $|\psi\rangle$ og gerne vil måle observablen $\hat{A}$. Den har fire egenvektorer, $|a_1\rangle$, $|a_2\rangle$, $|a_3\rangle$ og $|a_4\rangle$, og til dem hører egenværdierne $a_1$, $a_2$, $a_3$ og $a_4$. Der er fire mulige måleresultater. De fire egenvektorer kan vi nu bruge til at skrive vores tilstandsvektor på en ny måde:
\begin{equation}
|\psi\rangle = c_1 |a_1\rangle + c_2 |a_2\rangle + c_3 |a_3\rangle + c_4 |a_4\rangle
\end{equation}
Koefficienterne $c_i$ er de indre produkter mellem vores tilstand og hver af egenvektorerne $c_i = \langle a_i |\psi\rangle$, og de vægter med hvor stor en andel $|a_i\rangle$ skal indgå, for at summen tilsammen giver tilstandsvektoren $|\psi\rangle$. Derfor virker det (forhåbentlig) heller ikke helt urimeligt, at koefficienterne også fortolkes som sandsynlighedsamplitudernefor at en måling af $\hat{A}$ på et system i tilstanden $|\psi\rangle$ giver resultatet $a_i$ og efterlader systemet i tilstanden $|a_i\rangle$. Sandsynlighedsamplituderne er generelt komplekse tal og selve sandsynligheden (den slags sandsynligheder vi er vant til, som er reelle tal og som tilsammen giver 100%), fås ved at tage absolutkvadratet af amplituden. Helt i tråd med hvad vi så for bølgefunktionerne.

Sandsynligheden for at en måling af $\hat{A}$ giver resultatet $a_i$, når systemet er i tilstanden $|\psi\rangle$, er $ P(a_i) = |\langle a_i |\psi \rangle |^2 $

Nu hvor vi kender sandsynlighederne for hver at måleresultaterne, så kan vi også regne ud, hvad middelværdien vil være, hvis vi udføre det samme eksperiment mange gange, dvs. at vi mange gange bringer systemet i den samme tilstand og derefter måler $\hat{A}$. Efter hver måling bringes systemet igen tilbage i den oprindelige tilstand. Resultatet af hver enkelt måling kan vi ikke forudsige noget som helst om, det er helttilfældigt. Men vi ved, at hvert muligt resultat vil forekomme med de sandsynligheder vi lige har fundet. Det er lidt som at kaste med en terning – gør vi det, kan vi heller ikke sige meget om, hvad det enkelte kast kommer til at give, men vi ved at alle udfaldene 1-6 vil forekomme med en sandsynlighed på 1/6, hvis det altså er en fair terning. Til gengæld kan vi forudsige middelværdien af mange terningkast. Den er givet ved
\begin{align*}
\bar{n} &= P(1)\cdot 1 + P(2) \cdot 2 + P(3) \cdot 3\\
&\qquad + P(4) \cdot 4 + P(5) \cdot 5 + P(6) \cdot 6.
\end{align*}
Da alle sandsynlighederne er ens, nemlig $P = 1/6$, får vi
\begin{equation}
\bar{n} = \frac{1}{6} \cdot \big(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \big) = 3,5
\end{equation}

På samme måde, så kan vi beregne middelværdien af mange målinger af $\hat{A}$ (det skriver man ofte som $\langle \hat{A} \rangle$) som
\begin{align*}
\langle \hat{A} \rangle &= P(a_1)\cdot a_1 + P(a_2)\cdot a_2 \\
&\qquad+ P(a_3)\cdot a_3 + P(a_4)\cdot a_4 \\
&= |\langle a_1 |\psi\rangle|^2 \cdot a_1 + |\langle a_2 |\psi\rangle|^2 \cdot a_2\\
&\qquad+ |\langle a_3 |\psi\rangle|^2 \cdot a_3 + |\langle a_4 |\psi\rangle|^2 \cdot a_4 \\
&= \langle \psi | \hat{A} |\psi\rangle
\end{align*}
Det sidste udtryk gælder helt generelt. Man kan altså finde middelværdien af en observabel ved at sandwiche den mellem tilstandsvektoren for systemet.

---

Eksempel: Udregning af sandsynligheder

Et konkret eksempel på udregning af sandsynligheder, som er relevant i forhold til den eksperimentelle test af Bells ulighed som vi kommer til senere, er: Hvad er sandsynligheden for at detektere en foton i en vilkårlig roteret polarisationsretning, når fotonen til at begynde med er i en bestemt polarisationstilstand, f.eks $H\rangle$ eller $|V\rangle$? Det eksperiment kan udføres ved at sende mange identiske fotoner ind på en polarisator og måle hvor mange kommer igennem som funktion af polarisatorens orientering.

Polarisatoren lader kun lys passere, hvis det har en bestemt polarisation, f.eks $|V\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, og for en enkelt foton betyder det, at dens tilstand enten kollapses ned i $|V\rangle$ og slipper igennem, eller at den bliver absorberet i polarisatoren. Hvis polarisatoren er roteret med en vinkel $\theta$, så er den tilstand den lader passere i stedet
$$ |\theta\rangle = \hat{R}(\theta).|V\rangle = \begin{pmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix} = -\sin(\theta)|H\rangle + \cos(\theta)|V\rangle. $$
Her brugte vi rotationsmatricen $\hat{R}(\theta)$, som vi også stødte på i afsnittet Observable & målinger, til at finde den tilstand som den roterede polarisator transmitterer. 
Vi kan nu beregne sandsynligheden for at detektere fotonen i den roterede polarisationstilstand $|\theta\rangle$ givet at den starter i tilstanden $|V\rangle$:
$$ P(\theta|V) = |\langle\theta|V\rangle |^2 = \bigg| \begin{pmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \bigg|^2 = \cos^2 (\theta) $$
Starter fotonen i stedet i tilstanden $|H\rangle$ så er sandsynligheden
$$ P(\theta|H) = |\langle\theta|H\rangle |^2 = \bigg| \begin{pmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \bigg|^2 = \sin^2 (\theta) $$
Begge resultater er plottet på figuren herunder.

---